Multiplicación y División de Números Complejos

Multiplicación y División de Números Complejos

Autor:
icontreras
Multiplicación de números complejos

Para multiplicar números complejos se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta que i 2 = -1.
z*w = (a + bi)*(c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

El resultado es otro número complejo 
que tiene:

Parte real igual al producto de las partes reales de los números, menos el producto de las partes imaginarias.
Parte imaginaria igual al producto de la parte real del primero
 por la parte imaginaria del segundo, más la parte imaginaria del primero por la parte real del segundo.

En el ejemplo dado a continuación, (1+i)*(-1+i) = -1+i-i+i^2 = -1-1 = -2

En el caso de que deseemos realizar el producto de números complejos en forma polar, obtendríamos un numero complejo tal que:

Su módulo es el producto de los módulos de los factores.
Su argumento es la suma es la suma de los argumentos de los factores.
r(α)*s(β) = (r*s)(α+ β)

En el ejemplo dado a continuación, √2(45)*√2(135) = √2*√2(45+135) = 2(180) = -2

División de números complejos

Para dividir dos números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. (El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo).

El resultado es otro número complejo que tiene:

Parte real igual al producto de las partes reales de los números, más el producto de las partes imaginarias, dividido entre la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria del divisor.
Parte imaginaria igual al producto del a parte imaginaria del primero por la parte real del segundo, menos la parte real del primero por la parte imaginaria del segundo, dividido entre la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria del divisor.

En el ejemplo dado a continuación, (1+i)/(-1+i) = (1+i)*(-1-i)/ (-1+i)*(-1-i) = -1-i-i-i^2/1-i^2 = -2i/2 = -i

En el caso de que deseemos realizar el cociente de números complejos en forma polar, obtendríamos un numero complejo tal que:

Su módulo es el cociente de los módulos de los factores.
Su argumento es la resta de los argumentos de los factores.
r(α)/s(β) = (r/s)(α-β)

En el ejemplo dado a continuación, √2(45)/√2(135) = √2/√2 (45-135) = 1(-90) = 1(270) = -i

Comprueba la multiplicación y división de números complejos con los siguientes ejemplos:

(3+2i)(−1+3i) = −3+9i −2i −6=−9+7i
(−2+6i)/(4-2i) =(−2+6i)*(4+2i) / (4-2i)*(4+2i) = -8-4i+24i-12 / 16+4 = -20+20i / 20 = -1+i

Comprueba la multiplicación y división de números complejos en forma polar con los siguientes ejemplos:

(1+2i)*(-0.5+i) = (√5*√1.25)(63.43+116.57) = 2.5(180)
(1+2i)/(-0.5+i) = (√5/√1.25)(63.43-116.57) = 2(306.87)