El Método Monte Carlo. Estimación del Valor de Pi.


El Método Monte Carlo. Estimación del Valor de Pi.

Tema:
Probabilidad

¿Qué es el Método Monte Carlo?

El método Monte Carlo es un método en el que por medio de la estadística y la probabilidad podemos determinar valores o soluciones de ecuaciones que calculados con exactitud son muy complejas, pero que mediante este método resulta sencillo calcular una aproximación al resultado que buscamos.

El método Monte Carlo fue desarrollado en 1944 en Laboratorio Nacional de Los Álamos, como parte de los estudios que condujeron al desarrollo de la bomba atómica. En un principio lo desarrollaron los matemáticos John Von Neumann y Stanislaw Ulam aunque fueron otros matemáticos quienes con su trabajo le dieron una solidez científica, Harris y Herman Kahn.

La idea le surgió a Ulam, mientras jugaba a las cartas. Se le ocurrió un método en el que mediante la generación de números aleatorios, pudieran determinar soluciones a ecuaciones complejas que se aplican en el estudio de los neutrones. Era como generar los números con la ayuda de una ruleta, de ahí su nombre.

Calculando el valor de Pi, con la ayuda del Método Monte Carlo.

Lo primero construir el entorno de trabajo. Este sería:

  • Construiremos un cuadrado de lado 4. Lógicamente su área será 16.
  • Construimos un círculo inscrito en el cuadrado, que tiene de centro, el centro del cuadrado y de radio 2. Su área será .
  • Generaremos puntos al azar dentro del cuadrado. Para entenderlo mejor es como lanzar dardos sobre una diana con los ojos vendados, de tal forma que siempre acertamos dentro de los límites de ese cuadrado.

Aplicamos ahora el Método Monte Carlo:

  • Contaremos el total de puntos generados.
  • Contaremos el total de puntos que cayeron dentro del círculo.
  • Realizaremos el siguiente razonamiento:

En la construcción de GeoGebra observaremos todos los cálculos. Vemos que se hace un sencillo despeje y generaremos aproximaciones al número Pi, bastante buenas.

El deslizador n es el que genera los puntos aleatorios.

Curiosidad

Observamos, al menos en esta construcción de GeoGebra, que la aproximación de Pi no mejora dependiendo del número de puntos que generemos.

Aproximaciones de Pi, mediante el Método Monte Carlo.

Conclusión.

GeoGebra nos brinda la oportunidad de realizar un experimento miles de veces y sacar conclusiones de él.
El Método Monte Carlo es un método matemático muy interesante, tanto por su historia como por la potencialidad. Nos permite estudiar soluciones de ecuaciones, estimar el valor de y estimar el valor de una integral definida. En este mismo libro de GeoGebra encontrarás una actividad elaborada por mi que lo explica.

Dejo aquí un vídeo que explica como construir la actividad que acabamos de ver.

Estimando el valor de Pi, utilizando el método Monte Carlo.