Dimensiones del hipercubo


Dimensiones del hipercubo

Tema:
Cubo
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Dimensiones.

Imagina que, sin que lo veas, con una cortadora hacemos lonchas un salchichón y te vamos enseñando cada loncha a medida que avanzamos en el corte. ¿Puedes imaginar la forma del salchichón completo viendo cómo varía la forma de las lonchas? ¿Y si fuera una manzana? ¿Y una rosquilla? ¿Y un pulpo?
 
Observar la variación de forma y tamaño de las sucesivas lonchas, es decir, de las sucesivas secciones, puede ayudar a hacernos una idea de qué es o cómo es lo que estamos cortando, en el caso de que no lo podamos ver.

Otra forma de imaginar la forma del salchichón, la manzana, la rosquilla o el pulpo sin verlos directamente es a partir de sus sombras, es decir, de las proyecciones de sus imágenes en un plano.
 
En esta actividad intentaremos imaginar algo que no podemos ver en nuestro espacio tridimensional: un hipercubo, que es una figura de cuatro dimensiones. Para ello contaremos con la ayuda de las proyecciones y las secciones.

  1. Pulsa el botón de Reproducir . Eso pone en marcha «la cortadora». Los poliedros que van apareciendo, empezando por un tetraedro, son las sucesivas secciones de un hipercubo. Los cortes se realizan perpendicularmente a una de las diagonales principales del hipercubo.

    ¿Te resulta extraño? Es normal, un hipercubo no te lo encuentras todos los días… Para que resulte menos extraño descenderemos en las dimensiones y volveremos a ascender lentamente. Pero antes, juega un poco con la construcción, activa y desactiva casillas y mueve los deslizadores que quieras, observando en cada caso el efecto que producen. También puedes mover el foco de iluminación y rotar la figura.

  2. Reinicia la construcción y selecciona dimensión 0. Es la dimensión que tiene un punto. Puedes ver el punto blanco, su proyección (su sombra, punto naranja) y el rayo de luz que los une. Activa la casilla «Centro desplazable» y mueve el punto rojo en la parte superior de la pantalla. Describe qué hace el punto blanco al girar el punto rojo.
  3. Selecciona dimensión 1 (una dirección). Es la dimensión que tiene un segmento. Se construye uniendo dos puntos (figuras de dimensión 0) opuestos. Puedes ver el segmento azul, su proyección (su sombra, en gris) y los rayos de luz que unen sus extremos. Describe qué hace el segmento al girar el punto rojo.
  4. El segmento azul y el segmento proyectado no son siempre paralelos. ¿Por qué?
  5. Selecciona dimensión 2 (dos direcciones mutuamente perpendiculares). Es la dimensión que tiene un cuadrado. Se construye uniendo dos segmentos (figuras de dimensión 1) opuestos. Puedes ver el cuadrado (verde) y la proyección de sus lados y vértices. Describe qué hace el cuadrado al girar el punto rojo.

    Observa que en realidad en la pantalla no aparece un cuadrado, sino que ese «cuadrado» verde es a su vez una proyección de un cuadrado que está girando en el espacio. Por eso ni sus lados tienen el mismo tamaño aparente ni sus ángulos aparentan ser rectos. Pero, debido a la perspectiva, estamos tan
    acostumbrados a ver de esa forma las superficies cuadradas en nuestro espacio tridimensional, que no nos cuesta ningún esfuerzo interpretar el cuadrilátero verde como «un cuadrado auténtico».

  6. Rota el cuadrado hasta que el ángulo de giro marque 0º. Ayúdate de las teclas + y – (y la tecla Ctrl para ir más rápido) para afinar el desplazamiento del punto rojo. Ahora el cuadrado es «auténtico», sus lados iguales y sus ángulos rectos. ¿Por qué?
  7. Rota el cuadrado hasta que el ángulo de giro marque 90º. Ayúdate de las teclas + y – (y la tecla Ctrl para ir más rápido) para afinar el desplazamiento del punto rojo. Describe lo que le sucede al cuadrado verde y a su sombra, y por qué crees que pasa. ¿Qué significado crees que tiene ese valor de 90º?
  8. ¿En qué dirección tienes que colocar el foco de iluminación para que los vértices de la sombra parezcan también alineados?
  9. Rota el cuadrado hasta un ángulo entre 30º y 70º. Pon en marcha la cortadora pulsando el botón de Reproducir. La cortadora secciona el cuadrado en cortes perpendiculares a una de sus dos diagonales principales (línea discontinua). Describe cómo varía la forma de las sucesivas secciones.
  10. Observa los puntos extremos de las sucesivas secciones. Describe el recorrido que hace cada uno de esos puntos, desde que parte de un extremo de la diagonal principal hasta que llega al extremo opuesto.
  11. Selecciona dimensión 3 (tres direcciones mutuamente perpendiculares). Es la dimensión que tiene un cubo. Se construye uniendo dos cuadrados (figuras de dimensión 2) opuestos. Puedes ver el cubo con sus caras verdes y la proyección de sus aristas y vértices. Mueve el punto central del cubo para desplazarlo. Describe qué hace el cubo al girar el punto rojo.

    Observa que en realidad en la pantalla no aparece un cubo, sino que ese «cubo» es a su vez una proyección de un cubo que está girando en el espacio. Por eso sus caras no parecen cuadradas, ni sus aristas aparentan tener la misma longitud ni formar ángulos rectos. Pero, debido a la perspectiva, estamos tan acostumbrados a ver de esa forma los cubos en nuestro espacio tridimensional, que no nos cuesta ningún esfuerzo interpretar el cubo como «un cubo auténtico».

  12. Observa los vértices de las sucesivas secciones. Describe el recorrido que hace cada vértice, desde que parte de un extremo de la diagonal principal hasta que llega al extremo opuesto.
  13. Desactiva la casilla «Centro desplazable» (puedes volver a activarla cuando lo desees). La cortadora secciona el cubo en cortes perpendiculares a una de sus diagonales principales (línea discontinua). ¿Cuántas diagonales principales tiene el cubo?
  14. Describe cómo varía la forma de las sucesivas secciones del corte. ¿Qué tipo de polígonos aparecen? Con la reproducción automática activada, rota el cubo para tener una visión más general de las secciones. ¿Son equiláteras las secciones triangulares? ¿Por qué?
  15. ¿Cuáles son las mayores secciones triangulares que podemos encontrar? Indica los valores correspondientes del deslizador t (puedes para la reproducción automática y mover manualmente ese deslizador). Tomando como unidad la longitud de la arista del cubo, ¿cuánto mide el lado de esos triángulos máximos?
  16. ¿Cuándo la sección será un hexágono regular? Indica el valor correspondiente de t. Tomando como unidad la longitud de la arista del cubo, ¿cuánto mide el lado de ese hexágono regular?
  17. Ya estamos preparados para realizar el salto a la cuarta dimensión. Selecciona dimensión 4 (cuatro direcciones mutuamente perpendiculares). Es la dimensión que tiene un hipercubo. Se construye uniendo dos cubos (figuras de dimensión 3) opuestos. Puedes ver el hipercubo como ocho cubos (los dos opuestos y otros seis entre ambos). Activa y desactiva por turno las casillas «C1″… «C8» para distinguir los ocho cubos. Mueve el punto central del cubo para desplazarlo. Intenta describir en tu cuaderno qué hace el hipercubo al girar el punto rojo.

    Observa que las cuatro aristas del hipercubo de cuatro dimensiones que concurren en cada uno de sus vértices son de la misma longitud y mutuamente perpendiculares. Si no lo aparentan se debe, una vez más, a que lo que estamos viendo no es el hipercubo sino una proyección de él (desde un espacio de cuatro dimensiones) en la pantalla del ordenador.

  18. La cortadora secciona el hipercubo en cortes perpendiculares a una de sus diagonales principales (línea discontinua). ¿Cuántas diagonales principales tiene el hipercubo?
  19. Observa los vértices de las sucesivas secciones. Describe el recorrido que hace cada vértice, desde que parte de un extremo de la diagonal principal hasta que llega al extremo opuesto.
  20. Describe cómo varía la forma de las sucesivas secciones del corte. ¿Qué tipo de poliedros aparecen?

    Los cubos opuestos (C1 y C8) que han servido de base para construir el hipercubo tienen diferente tamaño aparente. Esto favorece la visualización del comportamiento del hipercubo al rotar, pero puede provocar distorsiones en la visualización de las caras de los poliedros que aparecen al seccionarlo bajo determinados ángulos de rotación. Para corregir esa mala percepción, puedes activar temporalmente la casilla «Sin perspectiva», lo que provocará que los cubos base tengan el mismo tamaño aparente.

  21. ¿Cuáles son los mayores tetraedros que podemos encontrar? Indica los valores correspondientes de t. Tomando como unidad la longitud de la arista de un cubo, ¿cuánto mide la arista de esos tetraedros máximos?
  22. ¿Cuándo la sección será el poliedro semirregular «tetraedro truncado»? Indica los valores correspondientes de t. Tomando como unidad la longitud de la arista de un cubo, ¿cuánto mide la arista de esos tetraedros truncados?
  23. ¿Cuándo la sección será un octaedro? Indica el valor correspondiente de t. Tomando como unidad la longitud de la arista de un cubo, ¿cuánto mide la arista de ese octaedro?
  24. Describe cuál es el efecto de variar los deslizadores d1, d2 y d3.
  25. Activa la casilla Grafo. ¿En qué dimensiones puedes realizar un recorrido que pase una sola vez por todos los vértices? ¿En qué dimensiones puedes realizar un recorrido que pase una sola vez por todas las aristas?

Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste.
Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss