Un binomio es una suma o una diferencia de dos números (o expresiones numéricas). Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que:

• «El cuadrado de la suma es la suma de los cuadrados MÁS el doble del producto»

• «El cuadrado de la diferencia es la suma de los cuadrados MENOS el doble del producto»

Llamando a esos números «a» y «b», una demostración sería:

(a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a² + 2ab + b²

y la otra demostración sería 

(a – b) (a – b) = aa – ab – ba + bb = a² – 2ab + b²

Observa que la segunda identidad puede verse como un caso particular de la primera, cuando «b» sea un número negativo: 

(a – b)² =  (a + (-b))² =  a² + 2a(-b) + b² = a² – 2ab + b²

 Ahora vamos a comprobar geométricamente estas dos identidades notables.

1. Mueve los puntos para variar la longitud de «a» y de «b», de forma que el punto rojo se encuentre siempre a la derecha del punto blanco. La figura completa es siempre un cuadrado. ¿Por qué? ¿Cuánto mide cada lado de ese cuadrado?
2. Considerando el lado de ese cuadrado (tu respuesta a la pregunta anterior), ¿cuál será entonces el área de la figura completa? Anota en tu cuaderno: «El área total es ………. cm²«.
3. Ahora fíjate en las 3 partes en que está dividida la figura. Expresa la suma de sus tres áreas de la forma más reducida que puedas, sin usar paréntesis. Anota en tu cuaderno: «El área total también es la suma ……………………………… cm²«.
4. ¿Qué puedes deducir de las respuestas a las dos preguntas anteriores?
5. Ahora mueve el punto rojo hasta que quede a la izquierda del punto blanco, de forma que entonces «b» le resta su longitud al segmento «a». ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado violeta? Anota en tu cuaderno: «El área del cuadrado violeta es ………. cm²«.
6. Observa que el área violeta también es igual al cuadrado completo, de lado «a» (y por tanto de área a²), menos la parte recortada roja y verde. ¿Cuál es el área de la parte recortada? Según esto, «el área del cuadrado violeta es también ……………………. cm²«.
7. ¿Qué puedes deducir de las respuestas a las dos preguntas anteriores?