Cuadrado de un binomio
- Autor:
- Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Ecuaciones y Sistemas.
Un binomio es una suma o una diferencia de dos números (o expresiones numéricas). Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que:
- «El cuadrado de la suma es la suma de los cuadrados MÁS el doble del producto»
- «El cuadrado de la diferencia es la suma de los cuadrados MENOS el doble del producto»
Llamando a esos números «a» y «b», una demostración sería:
(a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2
y la otra demostración sería
(a – b) (a – b) = aa – ab – ba + bb = a2 – 2ab + b2
Observa que la segunda identidad puede verse como un caso particular de la primera, cuando «b» sea un número negativo:
(a – b)2 = (a + (-b))2 = a2 + 2a(-b) + b2 = a2 – 2ab + b2
Ahora vamos a comprobar geométricamente estas dos identidades notables.
Preguntas
- Mueve los puntos para variar la longitud de «a» y de «b», de forma que el punto rojo se encuentre siempre a la derecha del punto blanco. La figura completa es siempre un cuadrado. ¿Por qué? ¿Cuánto mide cada lado de ese cuadrado?
- Considerando el lado de ese cuadrado (tu respuesta a la pregunta anterior), ¿cuál será entonces el área de la figura completa? Anota en tu cuaderno: «El área total es ………. cm2«.
- Ahora fíjate en las 3 partes en que está dividida la figura. Expresa la suma de sus tres áreas de la forma más reducida que puedas, sin usar paréntesis. Anota en tu cuaderno: «El área total también es la suma ……………………………… cm2«.
- ¿Qué puedes deducir de las respuestas a las dos preguntas anteriores?
- Ahora mueve el punto rojo hasta que quede a la izquierda del punto blanco, de forma que entonces «b» le resta su longitud al segmento «a». ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado violeta? Anota en tu cuaderno: «El área del cuadrado violeta es ………. cm2«.
- Observa que el área violeta también es igual al cuadrado completo, de lado «a» (y por tanto de área a2), menos la parte recortada roja y verde. ¿Cuál es el área de la parte recortada? Según esto, «el área del cuadrado violeta es también ……………………. cm2«.
- ¿Qué puedes deducir de las respuestas a las dos preguntas anteriores?
Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste.
Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss
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