ÁNGULOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

ÁNGULOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

Autor:
Tere Carrión
Se llama ángulo inscrito en una circunferencia, a cualquier ángulo cuyo vértice pertenece a la circunferencia y sus lados son secantes a la misma.

Se llama ángulo central a cualquier ángulo cuyo vértice sea el centro de la circunferencia.

Sean en la siguiente figura dos puntos fijos A y B de una circunferencia de centro C.

P es un punto de la circunferencia, variable en el arco mayor AB.

Si mueves el deslizador, verás como varía el punto P, obteniendo ángulos inscritos que abarcan el arco menor AB . ¿Observas alguna particularidad?

Activa la casilla de control “Ángulo Central” y verás el ángulo que es el ángulo central que abarca el mismo arco que los inscritos anteriores.

Si mueves el punto C, cambia la circunferencia y también el ángulo central ¿Puedes realizar alguna conjetura con lo que observas?

¿Será casualidad o una propiedad geométrica que podremos demostrar?

Intentaremos demostrarlo, considerando 3 casos:

1) Cuando el centro de la circunferencia pertenece a uno de los lados del ángulo inscrito.

2) Cuando el centro de la circunferencia es interior al ángulo inscrito.

3) Cuando el centro de la circunferencia es exterior al ángulo inscrito.

Desactiva las casillas de control “Ángulos inscritos” y “Ángulo Central”

Activa, luego, la casilla de control “Primer Caso”.

En este caso, el punto C, centro de la circunferencia, pertenece a uno de los lados del ángulo inscrito

Observa la figura y responde:

1) ¿Qué tipo de triángulo es el BCP1? Justifícalo.

2) ¿Cómo son los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son B y P1 respectivamente?

3) ¿Qué relación existe entre el ángulo central y el inscrito ?

Desactiva la casilla de control “Primer Caso” y activa “Segundo Caso”

Ahora C es un punto interior al ángulo .

Consideramos la semirrecta que corta a la circunferencia en el punto E. Como C es interior al ángulo , esta semirrecta también es interior al mismo, por lo tanto divide a los ángulos y en dos ángulos cada uno.

¿Qué puedes concluir si aplicas el caso 1 a ambas partes?

¿Qué relación existe entre el ángulo central y el inscrito

Desactiva la casilla de control “Segundo Caso” y activa “Tercer Caso”.

Ahora C es un punto exterior al ángulo .

Volvemos a considerar la semirrecta que corta a la circunferencia en el punto F. En este caso, la semirrecta también es exterior al ángulo y determina con los lados del ángulo otros 2 ángulos cuya diferencia es el primero.

Podemos hacer un razonamiento similar al caso anterior y llegar a una conclusión ¿cuál?

Finalmente escribe en tu cuaderno dos conclusiones de este trabajo.